Propiedades de las ecuaciones

6.2 Propiedades de las ecuaciones

El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Es decir

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c≠0

Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6

Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miebros y resulta 3x-2 +2= x+6+2.

Es decir 3x = x+8

En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos

3x-2-6 = x+6-6

O sea 3x-8 = x

Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x

Es decir, 2x-8 = 0

Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse.

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una ecuación varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicación por -1, por lo cual la igualdad no varía.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los signos cambiados.

Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación , para eliminar los denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea por 8, tendremos:

O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los denominadores.

Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..

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UMSNH Salvador González Sánchez 2005